Οι παλιρροϊκοί κύκλοι, αν και εύκολα παρατηρήσιμοι μόνο στις ακτές με μεγάλες μάζες νερού, ήταν το ίδιο μυστηριώδη και, όπως το ουράνιο τόξο και άλλα ανεξήγητα φυσικά φαινόμενα, ήταν το θέμα πολλών δεισιδαιμονιών και μύθων.

ΙΣΤΟΡΙΚΗ ΑΝΑΔΡΟΜΗ

4ος αι. π.χ.

Αριστοτέλης: Οι παλίρροιες είναι συνδυασμένη επίδραση της σελήνης και του ήλιου.

79 μ.χ.

Πλίνιος ο Πρεσβύτερος –  “Historia Naturalis” : Η παλίρροια ρέει δύο φορές και υποχωρεί δύο φορές μεταξύ κάθε δύο πανσέληνους και προκαλείται από τον ήλιο και το φεγγάρι

13ος αι

Zakariyya ibn Muhammad al Quazvini – “Wonders of Creation”: οι παλίρροιες προκλήθηκαν τόσο από τον ήλιο όσο και από το φεγγάρι, προφανώς μέσω της θέρμανσης και της ψύξης του νερού.

1632

Γαλιλαίος – “Dialogue on the Tides”: ερμήνευσε τις παλίρροιες, ως αποτέλεσμα της περιστροφής της γης και προσπάθησε να τις χρησιμοποιήσει για πειραματική απόδειξη του σύστηματος του Κοπέρνικου (γεωκεντρικό σύστημα)

Kepler: ο ήλιος και το φεγγάρι είναι ζωτικής σημασίας για τις παλίρροιες (απορρίφθηκε από τον Γαλιλαίο)

1687

Νεύτωνας –«Principia»: «Αντλώ από τα ουράνια φαινόμενα τις δυνάμεις της βαρύτητας, με την οποία οι οργανισμοί έλκονται από τον ήλιο και αρκετούς πλανήτες. Έπειτα από αυτές τις δυνάμεις, με άλλες προτάσεις οι οποίες είναι επίσης μαθηματικές, συνάγω τις κινήσεις των πλανητών, τους κομήτες, το φεγγάρι, και τη θάλασσα»

18^ος αι

Euler: έδειξε ότι είναι οι εφαπτόμενες δυνάμεις που προκαλούν τις παλίρροιες. Η κατακόρυφη συνιστώσα της παλιρροιακής δύναμης είναι αμελητέα σε σύγκριση με τη βαρυτική δύναμη που ασκείται από τη γη, λαμβάνοντας υπόψη ότι η οριζόντια συνιστώσα του, κάθετη προς τη βαρυτική δύναμη της γης, είναι η κινητήρια δύναμη της παλίρροιας.

Bernoulli: υπογράμμισε ότι η τοπική αντίδραση του νερού στις δυνάμεις αυτές εξαρτάται σε μεγάλο βαθμό από τον ακριβή όγκο και σχήμα του ύδατος, καθώς και σχετική με την συγκεκριμένη τοποθεσία, όπου έγιναν οι παρατηρήσεις, και ως εκ τούτου δεν μπορούσε εύκολα να δεχθεί μια γενική θεωρητική περιγραφή. Ωστόσο, σε οποιαδήποτε δεδομένη θέση, αυτές οι τοπικές συνθήκες είναι κατ ‘ουσίαν σταθερές, και μπορεί κανείς να συσχετίσει την τοπική παρατηρήση με τις κινήσεις της σελήνης και του ήλιου.

Laplace: δυνάμεις τριβής προκαλούν μια καθυστέρηση μεταξύ των ελκτικών δυνάμεων και της παρατηρούμενης παλίρροιας, και διατύπωσε το μαθηματικό πρόβλημα, συμπεριλαμβανομένων των δυνάμειων Coriolis (πολύ πριν γεννηθεί η Coriolis). Το παλιρροϊκό κύμα κινείται σε όλο τον ωκεανό, αλλά είναι πολύ πίσω από τις θέσεις των ουρανίων σωμάτων που το προκαλούν. Κατά συνέπεια, ανοιξιάτικη παλίρροια δεν συμβαίνει ακριβώς το μεσημέρι και τα μεσάνυχτα της πλήρης και νέας σελήνης, αλλά αρκετές ώρες αργότερα

1889

Ο Δαρβίνος στο βιβλίο του για τις παλίρροιες ανάφερε ενδιαφέρουσες εξηγήσεις από την αρχαιότητα όπως κινέζικες πεποιθήσεις ότι το νερό είναι το αίμα της γης και οι παλίρροιες είναι ο παλμός της ή ότι οφείλονται στην αναπνοή της γης.

“BAD PHYSICS”

Ο συγγραφέας του κύριου άρθρου Mikolaj Sawicki εμπνεύστηκε το άρθρο του από αποσπάσματα από εφημερίδες και περιοδικά που ο ίδιος ονόμασε “Bad Physics”

Απόκομμα εφημερίδας – Miami Herald, July 2, 1996

«Κατά τη διάρκεια μιας πανσέληνου, το φεγγάρι έχει μεγαλύτερη βαρυτική έλξη, δημιουργώντας ένα υψηλότερο παλιρροιακό κύμα. Ο ψυχίατρος Arnold Lieber λέει ότι η έλξη αυτή επηρεάζει τους ωκεανούς και τους ανθρώπους με παρόμοιο τρόπο, δεδομένου ότι το ανθρώπινο σώμα αποτελείται ως επί το πλείστον από νερό»

Απάντηση: Η Σελήνη δεν έχει τραβήξει κανένα σκληρότερα όταν είναι “πλήρης”, και η περιεκτικότητα σε νερό ένός ανθρωπίνου σώματος είναι εντελώς άσχετη με το ζήτημα της επίδρασης της παλίρροιας στον άνθρωπο.

Ωστόσο, το θέμα των επιπτώσεων της παλίρροιας σε μικρούς όγκους νερού εμφανίζεται αρκετά συχνά, όπως αποδεικνύεται από τα ακόλουθα δύο παραδείγματα

Ask Marilyn” Parade Magazine, Dec. 8, 1996

Ερώτηση: Υπάρχουν παλίρροιες γλυκού νερού ή απλά ωκεανών:

Aπάντηση: Υπάρχουν παλίρροιες παντού στη Γη, που δεν περιλαμβάνουν μόνο ωκεανούς και τις λίμνες, αλλά και το έδαφος στο οποίο βρισκόμαστε (οι οποίες αποτελούν παράγοντες σε σεισμούς) και την ατμόσφαιρα που αναπνέουμε. Αν μείνεις ακίνητος για  αρκετά μεγάλο χρονικό διάστημα, θα υπάρχουν ακόμη παλίρροιες και στην κοιλιά σου.

“The Sky This Week,” Southern Illinoisan, March 27, 1998. Δήλωση αστρονόμου σε τοπική εφημερίδα:

«Εδώ, στο Southern Illinois όπως και σε πολλά μέρη του κόσμου, έχουμε την εμπειρία δύο περιόδων υψηλών και χαμηλών παλιρροιών την ημέρα. (…) Οι παλιρροιακές δυνάμεις ενεργούν σε όλα τα υδατικά συστήματα και όχι μόνο στους ωκεανούς (…) Κατά το περίγειο (…) η βαρυτική έλξη του φεγγαριού στη Γη είναι μέγιστη και έτσι τα νερά του κόσμου έχουν άνοδο και πτώση στο μέγιστο βαθμό τους»

Αν και οι καταστάσεις και στα δύο παραδείγματα φαίνονται αξιόπιστες, στην πραγματικότητα, παλιρροϊκή αντίκτυπο στις μικρές υδάτινες μάζες της τάξεως μεγέθους της κοιλιάς του αναγνώστη ή των λιμνών στο Southern Illinois είναι αμελητέα και συνεπώς, αδύνατο να παρατηρηθεί.

Πρώτα απ ‘όλα, πρέπει να συνειδητοποιήσουμε ότι η παλιρροιακή επίδραση προκαλείται όχι μόνο από το φεγγάρι, αλλά και από τον Ήλιο. Αν το φεγγάρι δεν υπήρχε, θα υπήρχαν να παλίρροιες των ωκεανών, αλλά δεν θα ήταν τόσο ψηλές, δεδομένου ότι ο ήλιος συνεισφέρει μόνο το 30% της παλιρροιακή επίδρασης. Δεύτερον, και πιο σημαντικό, δεν είναι το μέγεθος της βαρυτικής έλξη που είναι υπεύθυνο για ένα παλιρροιακό μηχανισμό, αλλά η διαφορά στην βαρυτική έλξη σχετικά με το νερό σε διάφορα τμήματα μιας λεκάνης.

Ας δούμε πώς λειτουργεί ο παλιρροιακός μηχανισμός.

Η μέση απόσταση του κέντρου της Γης από το κέντρο του ήλιου είναι κατά μέσο όρο: d_s = 1,496.10¹¹m. Η βαρυτική δύναμη του Ήλιου σε 1kg μάζας σε απόσταση d_s είναι: 

όπου g = 9.81 N/kg. Η βαρυτική δύναμη του Ήλιου σε 1kg μάζας στην άλλη πλευρά της Γης (R=6,37.10¹⁶m) είναι μικρότερη κατά έναν παράγοντα

Να σημειωθεί ότι κατά το δεύτερο βήμα στην (2) δεν λάβαμε υπόψιν διορθώσεις μεγαλύτερων τάξεων στον λόγο R/d_s. Αντίστοιχα, μια όμοια προσέγγιση δείχνει ότι η βαρυτική έλξη του ήλιου ανά 1kg μάζας σε σημείο της Γης που βρίσκεται πλησιέστερα προς τον Ήλιο είναι μιας τάξης μεγαλύτερη, επίσης, από το ποσό της Εξ. (1).  Σημειώστε ότι το Δα_s είναι αντιστρόφως ανάλογο του κύβου της απόστασης.

Για να δούμε πώς προκύπτουν οι παλίρροιες, πρέπει να θυμόμαστε ότι η Γη βρίσκεται σε ελεύθερη πτώση σε σχέση με τον Ήλιο. Ας υποθέσουμε ότι όλη η Γη είναι καλυμμένη με ωκεανό ίσου βάθους παντού – δεν υπάρχει ξηρά γης. Σκεφτείτε ένα σημείο C από την πλευρά της Γης που βρίσκεται πλησιέστερα προς τον Ήλιο, ένα σημείο F στην αθέατη πλευρά της Γης, καθώς και ένα σημείο A στα μισά του δρόμου από το C προς F κατά μήκος της επιφάνειας της Γης. Ο ήλιος έλκει «σκληρότερα» ανά μονάδα μάζας στο σημείο C, όχι τόσο σκληρά ανά μονάδα μάζας στο σημείο Α ή στο κέντρο της Γης και ασθενέστερα ακόμη ανά μονάδα μάζας στο σημείο F.

Ως εκ τούτου, μονάδες μάζας στο C, A και F, θα έπεφταν προς τον Ήλιο με επιταχύνσεις a_s+Δa_s και a_s-Δa_s αντίστοιχα αν δεν ήταν το βαρυτικό πεδίο της ίδιας της Γης (g), το οποίο έλκει μάζες από το C, A, F προς το O. Το ίδιο το κέντρο της Γης Ο, πέφτει προς τον Ήλιο με επιτάχυνση a_s. Το συνδιασμένο αποτέλεσμα είναι ότι αν πέσει ένας βράχος στο σημείο Α, η επιτάχυνση του ως προς το κέντρο της Γης είναι g, ενώ για βράχο που πέφτει στα σημεία C και F, η επιτάχυνσή του προς το κέντρο της Γης είναι g-Δa_s.

Από την οπτική γωνία παρατηρητή στη Γη, φαίνεται ότι η βαρυτική έλξη της Γης πάνω σε βράχο στα C και F ελαττώνεται κατά Δa_s. Με άλλα λόγια, ενώ η βαρυτική έλξη της Γης έλκει μάζα m κάτω με δύναμη mg, φαίνεται να υπάρχει μια άλλη δύναμη, η παλιρροϊκή, mΔa_s, τραβώντας τη μάζα πάνω. Αυτή είναι η πηγή του μηχανισμού της παλίρροιας και η προέλευση της διόγκωσης του νερού στα C και F.

Παρόμοιοι υπολογισμοί για τη Σελήνη, με μέση απόσταση d_m=3,84.10⁸m, δίνουν την ακόλουθη τιμή για την βαρυτική έλξη της Σελήνης σε μια μονάδα μάζας στο κέντρο της Γης:

και αντίστοιχα

Συγκρίνοντας τις εξισώσεις (1) και (3), βλέπουμε ότι η βαρυτική έλξη της Σελήνης ανά μονάδα μάζας είναι περίπου 178 φορές μικρότερη από την βαρυτική έλξη του Ήλιου. (Παρ ‘όλα αυτά, αν ρωτήσουμε μαθητές ποιος έλκει ισχυρότερα την Γη, η απάντηση που δίνουν είναι η Σελήνη).

Συνεχίζοντας την σύγκριση…

Η ηλιακή «παλιρροιακή έλξη» είναι μόνο 178/390=0,46 της σεληνιακής. (Δa_s = 0.46 Δa_m)

Αφού: Δa_m/(Δa_m+Δa_s)=69%, βλέπουμε ότι είναι η Σελήνη που κυριαρχεί στον παλιρροιακό μηχανισμό.

Αλλά, αν η Σελήνη ήταν μόνο δύο φορές πιο μακριά από τη Γη από ότι είναι τώρα, η παλιρροϊκή έλξη της Σελήνης θα μειωνόταν κατά οκτώ φορές και θα γινόταν τέσσερις φορές ασθενέστερη από του Ήλιου.

Όταν Ήλιος, Γη και Σελήνη ευθυγραμμιστούν, καθώς και σε περιόδους νέας και πλήρης Σελήνη, οι παλιρροιακές δυνάμεις Σελήνης και Ήλιου έλκουν με την ίδια κατεύθυνση και προκαλούν υψηλές παλίρροιες, υψηλότερες του μέσου όρου, καθώς και χαμηλές, χαμηλότερες από το μέσο όρο. Αυτές οι ισχυρότερες παλίρροιες ονομάζονται «Spring Tides». Με τη Σελήνη στο πρώτο ή στο τελευταίο τέταρτο, η παλιρροιακή της δύναμη ασκείται σε μία κατεύθυνση κάθετη σε αυτή του Ήλιου. Αυτό κάνει τις παλίρροιες χαμηλότερες από τον μέσο όρο («neap tides»).

Αληθινές παλίρροιες

Δεδομένου ότι στην πραγματικότητα η Γη δεν είναι ομοιόμορφα καλύμμένη με ωκεανό σταθερού βάθους, η ανάλυση των παλιρροιών των ωκεανών είναι πολύ δύσκολη. Οι ωκεανοί έχουν πολύπλοκα σχήματα, με διαφορετικά βάθη και διαμορφώσεις βυθού. Και οι ακτές είναι αρκετά περίπλοκες. Όλοι αυτοί οι παράγοντες συμβάλλουν σε ασυνήθιστες τοπικές παραλλαγές των παλιρροιών των ωκεανών. Σε ορισμένα μέρη υπάρχει μόνο μια παλίρροια την ημέρα. Οι «μεγάλες λεκάνες» ανοικτές σε ωκεανό (Ήχοι, όρμοι, κόλποι) μπορεί να εμφανίζουν τεράστια ηχητική συμπεριφορά. Υπάρχουν μέρη όπου δεν υπάρχουν παρατηρήσιμες παλίρροιες, και άλλες στις οποίες το νερό φτάνει στα 16m. Σε άλλες περιπτώσεις, υπάρχει μικρή παλίρροια, υπό μια έννοια ανόδου και πτώσης, αλλά ισχυρά ρεύματα ροής περιοδικά μπρος και πίσω. Επίσης, η υψηλή περιεκτικότητα σε νερό δεν είναι απαραίτητα σε συγχρονισμό με τις δυνάμεις, αλλά μπορεί να είναι πίσω κατά αρκετές ώρες. Η διάρκεια επηρεάζεται επίσης από τις τοπικές συνθήκες.

Τι γίνεται τώρα με τις παλίρροιες σε μικρότερα υδατικά συστήματα;

Το σύμβολο R στην εξίσωση (4) έχει πλέον αντικατασταθεί από το Δd (η διαφορά μεταξύ μιας απόστασης από το κέντρο της Σελήνης από το πιο κοντινό και πιο μακρινό σημείο της λεκάνης ύδατος). Για την περιοχή των Μεγάλων Λιμνών, η διαφορά απόστασης από τη Σελήνη διαφόρων σημείων στην επιφάνεια του νερού είναι πολύ μικρότερο, αλλά παλίρροιες με πλάτος περίπου 2in, μπορεί να παρατηρηθούν. Ωστόσο, οι τοπικές λίμνες είναι τόσο μικρές που όλα τα σημεία στην επιφάνεια του νερού έχουν πρακτικά την ίδια απόσταση από τη Σελήνη, ως εκ τούτου δεν υπάρχουν παρατηρήσιμες παλίρροιες. Ομοίως, δεν υπάρχουν παλίρροιες σε πισίνες, μπανιέρες, κοιλιές ή φλυτζάνια του καφέ. Πράγματι, για μια ρηχή λακκούβα με διάμετρο 20m, η τιμή του Δd είναι: Δd=1,3.10^-3m και η εξίσωση (4) δίνει: Δa_m=10^-17g, ένα απίστευτα μικρό ποσό. Είναι αλήθεια ότι η ατμόσφαιρα και το έδαφος δέχονται επίσης παλιρροιακά φαινόμενα, αλλά επειδή οι ήπειροι είναι πολύ πιο άκαμπτες από τους ωκεανούς, το αποτέλεσμα είναι πολύ μικρότερο. Παρ’όλα αυτά, τμήματα μιας ηπείρου μπορεί να αυξηθούν και μειωθούν 0,40m (16in). Έτσι, μια πισίνα με νερό μπορεί να ανέβει μερικές ίντσες, αλλά επειδή το σύνολο των εκτάσεων της γης κινείται επάνω και κάτω ταυτόχρονα, δεν είναι εύκολα παρατηρήσιμο το αποτέλεσμα.

ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ

Οι παλίρροιες εκδηλώνονται με εναλλασσόμενες κατακόρυφες μετακινήσεις της επιφάνειας της θάλασσας σε συνδυασμό με οριζόντιες κινήσεις του νερού, που ονομάζονται παλιρροιακά ρεύματα. Είναι γνωστό ότι οι παλίρροιες προκαλούνται από τις ποικίλες βαρυτικές δυνάμεις που το φεγγάρι και ο ήλιος ασκούν στο επίπεδο τόσο της γης, όσο και των ωκεανών της. Ακριβέστερα, η προέλευση των παλιρροιακών φαινομένων σχετίζονται με την ανομοιογένεια των σεληνιακών και ηλιακών βαρυτικών πεδίων σε όλη την υδρόγειο.

Η βαρυτική δύναμη που ασκεί το φεγγάρι σε οποιοδήποτε φορέα στην επιφάνεια της γης είναι πολύ μικρότερη από τη βαρυτική δύναμη του ήλιου. Ωστόσο, επειδή το φεγγάρι είναι πολύ πιο κοντά στη γη από τον ήλιο, η ανομοιογένεια του σεληνιακού βαρυτικού πεδίου σε όλη τη γη είναι πολύ μεγαλύτερη από εκείνη του ηλιακού πεδίου. Ως αποτέλεσμα, το φεγγάρι προκαλεί παλίρροιες δύο φορές μεγαλύτερες από αυτές που προκαλεί ο ήλιος.

ΠΑΛΙΡΡΟΙΕΣ – ΜΙΑ ΔΙΔΑΚΤΙΚΗ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ

Υποθέτουμε ότι έχουμε μια μεγάλη σφαιρική μάζα από ζελέ. Αν ασκήσετε την ίδια δύναμη σε κάθε τμήμα αυτής της μάζας, η μάζα θα επιταχυνθεί διατηρώντας το σφαιρικό σχήμα της. Αν, όμως, τραβήξετε τη μία πλευρά της δυνατότερα απ’ ό,τι την άλλη, θα δημιουργηθεί μια διαφορά στις επιταχύνσεις των δύο πλευρών, και η μάζα θα επιμηκυνθεί.

Αυτό ακριβώς συμβαίνει και στη μεγάλη σφαίρα πάνω στην οποία ζούμε. Η πλευρά που βρίσκεται πιο κοντά στη Σελήνη έλκεται με μεγαλύτερη δύναμη και υφίσταται μεγαλύτερη επιτάχυνση προς τη Σελήνη απ’ ό,τι η μακρινή πλευρά – και κατά συνέπεια το σχήμα της Γης είναι κάπως ελλειψοειδές, σαν μια μπάλα του ράγκμπυ. Επιταχύνεται, όμως, πράγματι η Γη προς τη Σελήνη; Ναι, επιταχύνεται, αφού ασκείται πάνω της κάποια δύναμη, και όπου υπάρχει μη μηδενική ολική δύναμη υπάρχει και επιτάχυνση. Η επιτάχυνση αυτή είναι κεντρομόλος, αφού η Γη διαγράφει κύκλο γύρω από το κέντρο μάζας του συστήματος Γης-Σελήνης. Τόσο η Γη όσο και η Σελήνη υφίστανται κεντρομόλο επιτάχυνση καθώς περιφέρονται η μία γύρω από την άλλη ως προς το κέντρο μάζας Γης-Σελήνης (ένα σημείο που βρίσκεται στο εσωτερικό της Γης, περίπου στα τρία τέταρτα της απόστασης από το κέντρο μέχρι την επιφάνεια). Αυτό έχει ως αποτέλεσμα τόσο η Γη όσο και η Σελήνη να παρουσιάζουν μια ελαφρά επιμήκυνση. Η επιμήκυνση της Γης αφορά κυρίως τους ωκεανούς, οι οποίοι εμφανίζουν δύο ισοϋψή εξογκώματα σε αντιδιαμετρικές πλευρές.

Κατά μέσο όρο στην υδρόγειο σφαίρα, η στάθμη των παλιρροϊκών εξογκωμάτων των ωκεανών είναι περίπου 1 μέτρο υψηλότερη από τη μέση στάθμη της επιφάνειας των ωκεανών. Δεδομένου ότι η Γη εκτελεί μία περιστροφή την ημέρα γύρω από τον άξονα της, ένα συγκεκριμένο σημείο της γήινης επιφάνειας περνά κάθε μέρα κάτω και από τα δύο αυτά εξογκώματα, με αποτέλεσμα να εμφανίζονται δύο ωκεάνιες παλίρροιες την ημέρα. Όταν ένα σημείο της Γης περνά κάτω από ένα εξόγκωμα, έχουμε πλήμμη (το μέγιστο ύψος της πλημμυρίδας). Έξι ώρες αργότερα, όταν η Γη θα έχει ολοκληρώσει το ένα τέταρτο της ημερήσιας περιστροφής της, η στάθμη του νερού στο ίδιο μέρος του ωκεανού θα είναι περίπου 1 μέτρο χαμηλότερη από τη μέση στάθμη της θάλασσας. Αυτή είναι η ρηχία (το ελάχιστο ύψος της άμπωτης). Το νερό που «λείπει» βρίσκεται κάτω από τα εξογκώματα που σχηματίζουν τις πλήμμες. Όταν η Γη ολοκληρώσει άλλο ένα τέταρτο της περιστροφής της, εμφανίζεται μια δεύτερη πλήμμη. Επομένως, έχουμε δύο πλήμμες και δύο ρηχίες ημερησίως. Ενώ, όμως, η Γη εκτελεί περιστροφή γύρω από τον άξονα της, ταυτόχρονα η Σελήνη κινείται στην τροχιά της, με τέτοιον τρόπο ώστε να εμφανίζεται στην ίδια θέση στον ουρανό κάθε 24 ώρες και 50 λεπτά. Κατά συνέπεια, για να συμπληρωθεί ένας κύκλος από δύο διαδοχικά ζεύγη πλημμυρίδας και άμπωτης απαιτούνται 24 ώρες και 50 λεπτά. Αυτός είναι και ο λόγος που οι παλίρροιες δεν εμφανίζονται την ίδια ώρα κάθε μέρα.

ΠΗΓΕΣ

1. Tidal analysis on a spreadsheet – Robert de Levie (Am. J. Phys., Vol. 72, No. 5, May 2004)
2. A dynamical picture of the oceanic tides – Eugene I. Butikov (Am. J. Phys., Vol. 70, No. 10, October 2002)
3. The Origin and Evolution of the Solar System (M.M.Woolfson)
4. Myths About Gravity and Tides – Mikolaj Sawicki (The Physics Teacer – Vol. 37, Oct. 1999)
5. Οι έννοιες της Φυσικής – Paul G. Hewitt
6. A dynamical picture of the oceanic tides – Eugene I. Butikov (Am. J. Phys., Vol. 70, No. 10, October 2002)
7. The importance of weightlessness and tides in teaching gravitation – I.Galili and Y.Lehavi (Am. J. Phys., Vol. 71, No. 11, November 2003)